题目内容
如图，在直角梯形ABCD中，∠D =∠BCD = 90°，∠B = 60°，AB= 6，AD = 9，点E是CD上的一个动点（E不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于点F（当E运动到C时，EF与AC重合），把△DEF沿着EF对折，点D的对应点是点G,如图①．
1.求CD的长及∠1的度数；
2.设DE = x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y．求y与x之间的函数关系式，并求x为何值时，y的值最大？最大值是多少？
3.当点G刚好落在线段BC上时,如图②,若此时将所得到的△EFG沿直线CB向左平移，速度为每秒1个单位，当E点移动到线段AB上时运动停止.设平移时间为t（秒）,在平移过程中是否存在某一时刻t，使得△ABE为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由
1.CD=
∠1=30°
2.Y
当
时，y的值最大，y的最大值为
3.①若AE=BE, 解得t=9
②若AB=AE,解得t=9-2
③若BA=BE，解得t=12-
解析:
（1） 过点A作AH⊥BC于点H （1分）
∵在Rt△AHB中，AB=6，∠B=60°
∴AH=AB·
=
∵四边形ABCD为直角梯形
∴四边形AHCD为矩形
∴CD=AH= （2分）
∵
∴∠CAD=30°
∵EF∥AC
∴∠1=∠CAD=30° （4分）
（2）点G恰好在BC上，由对折的对称性可知△FGE≌△FDE
∴ GE=DE =x，∠FEG=∠FED=60°
∴∠GEC=60°
因为△CEG是直角三角形
∴∠EGC=30°
∴在Rt△CEG中，EC=
EG=x
由DE+EC=CD 得
∴x=
（5分）
当
时
∵
＞0，对称轴为y轴
∴当，y随x的增大而增大
∴当x=
时，
=
（6分）
当＜x≤时，设FG，EG分别交BC于点M、N
∵DE=x
∴EC=
，NE=2
∴NG=GE－NE=
=
又∵∠MNG=∠ENC=30°，∠G=90°
∴MG=
=
（7分）
∵
，对称轴为直线
∴当＜x≤时，y有最大值
∴当时，
= （8分）
综合两种情形：由于＜
∴ 当时，y的值最大，y的最大值为 （9分）
(3)由题意可知:AB=6,分三种情况：
①若AE=BE, 解得t=9
②若AB=AE,解得t=9-2
③若BA=BE，解得t=12- (12分)
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20、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，E为BC边上的点．将直角梯形ABCD沿对角线BD折叠，使△ABD与△EBD重合（如图中阴影所示）．若∠A=130°，AB=4cm，则梯形ABCD的高CD≈
如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1998•大连）如图，在直角梯形ABCD中．AD∥BC，DC⊥BC，且BC=3AD．以梯形的高AE为直径的⊙O交AB于点F，交CD于点G、H．过点F引⊙O的切线交BC于点N．
BC上的动点，点G在AB上，且四边形AEFG是矩形．设FG=x，矩形AEFG的面积为y．