Question

【题目】定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．

（1）已知：如图1，四边形是“等对角四边形”， ， ， ．求， 的度数．

（2）在探究“等对角四边形”性质时：

① 小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中， ，此时她发现成立．请你证明此结论．

② 由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．

（3）已知：在“等对角四边形”中， ， ，AB=AD=4，．求∠D和对角线的长．

Answer 1

【答案】（1）130°；（2）①证明见解析；②不正确；（3）∠D=90°，AC=8

【解析】试题分析：（1）根据四边形ABCD是“等对角四边形”得出∠D=∠B=80°，根据多边形内角和定理求出∠C即可；

（2）①连接BD，根据等边对等角得出∠ABD=∠ADB，求出∠CBD=∠CDB，根据等腰三角形的判定得出即可；

②不正确．举一个反例即可．

（3）分两种情况：①当∠ADC=∠ABC=90°时，连接AC，易证⊿ABC≌⊿ADC，得出∠BCA=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，从而求出AC；

②当∠BCD=∠DAB=120°时，不成立．

试题解析：（1）∵等对角四边形ABCD中，∠A≠∠C，∠B＝80°，

∴∠Ｄ＝∠B＝80°．

∵∠A＝70°，

∴．

（2）①如图，连接BD，

∵AB＝AD，∴．

∵，∴．

∴CB＝CD．

②不正确，反例如图，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD，但CB≠CD．

(3)分两种情况：

①当∠ADC=∠ABC=90°时，连接AC，

∵AD=AB，

∴Rt⊿ADC≌Rt⊿ABC，

∴∠ACD=∠ACB=30°

在Rt⊿ABC中，∠ACB=30°，AB=4，

∴AC=2AB=2×4=8;

②当∠BCD=∠DAB=120°时，不成立.