Question

如图，已知二次函数y= -x²+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0)，与y轴交于点B.
【小题1】求此二次函数关系式和点B的坐标；
【小题2】在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【小题1】∵二次函数y= -x²+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0)，
∴0= -4²+4b+3，
解得b=，
∴此二次函数关系式为：y= -x²+x+3，
点B的坐标为B(0,3).
【小题1】在x轴的正半轴上是否存在点P(,0)，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形.理由如下：
设点P(x，0)，x＞0，则根据下图和已知条件可得

x²+ 3²="(4-" x)²，
解得x=，
∴点P的坐标为P(,0).
即，在x轴的正半轴上是否存在点P(,0)，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形.

解析【小题1】把点A的坐标代入二次函数，求出b的值，确定二次函数关系式，把x=0代入二次函数求出点B的坐标．
【小题1】分情况讨论，①当BP=AP时，②当AB=AP时，分别求出即可得出答案．