Question

13．（1）如图1，在线段AB上取一点C（BC＞AC），分别以AC、BC为边在同一侧作等边ACD与等边BCE，连结AE、BD，则ACE经过怎样的变换（平移、轴对称、旋转）能得到DCB？请写出具体的变换过程；（不必写理由）
（2）如图2，在线段AB上取一点C（BC＞AC），如果以AC、BC为边在同一侧作正方形ACDG与正方形CBEF，连结EG，取EG的中点M，设 DM的延长线交EF于N，并且DG=NE；请探究DM与FM的关系，并加以证明；
（3）在图2的基础上，将正方形CBEF绕点C顺时针旋转（如图3），使得A、C、E在同一条直线上，请你继续探究线段MD、MF的关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）容易根据已知条件证明△ACE≌△DCE，所以△ACE绕点C顺时针旋转60°后能得到△DCB；
（2）相等且垂直．根据已知得到DG=NE，MG=ME，而根据已知NB∥GD，现在就可以证明△MGD≌△MEN，从而得到DM=NM，而∠DFN=90°，从而得到FM=$\frac{1}{2}$DN=DM，而NE=GD，GD=CD，可以推出NE=CD，∴FN=FD，可以得到FM⊥DM，所以DM与FM相等且垂直；
（3）相等且垂直．延长DM交CE于N，连接DF、FN，先证△MGD≌△MNE，可以得到DM=NM，NE=DG，再根据正方形的性质和全等三角形的性质可以得到DC=DG=NE，FC=FE，现在可以证明△DCF≌△NEF，然后利用全等三角形的性质就可以证FM=DM，FM⊥DM．

解答 解：（1）将△ACE绕点C顺时针旋转60°后能得到△DCB；理由如下：
∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AC=CD，CE=CA，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}&{\;}\\{∠ACE=∠DCB}&{\;}\\{CE=CA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴将△ACE绕点C顺时针旋转60°后能得到△DCB；

（2）如图，相等且垂直．理由如下：
∵EF∥GD，
∴∠NEM=∠DGM，
在△MGD和△MEN中，$\left\{\begin{array}{l}{GD=EN}&{\;}\\{∠NEM=∠DGM}&{\;}\\{EM=GM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△MGD≌△MEN（SAS），
∴DM=NM，
在Rt△DNF中，FM=$\frac{1}{2}$DN=DM，
∵NE=GD，GD=CD，
∴NE=CD，
∴FN=FD，
即FM⊥DM，
∴DM与FM相等且垂直．

（3）MD与MF相等且垂直．理由如下：
延长DM交CE于N，连接DF、FN，如图所示：
根据（2）可以得到△MGD≌△MNE，
∴DM=NM，NE=DG，
∵∠DCF=∠FEN=45°，DC=DG=NE，FC=FE，
∴在△DCF和△NEF中，$\left\{\begin{array}{l}{DC=NE}&{\;}\\{∠DCF=∠FEN}&{\;}\\{FC=FE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△NEF（SAS），
∴DF=FN，∠DFC=∠NFE，
∴∠DFN=90°，
即△FDN为等腰直角三角形，
∵DM=NM，即FM为斜边DN的中线，
∴FM=DM=NM=$\frac{1}{2}$DN，且FM⊥DN，
则FM=DM，FM⊥DM．

点评 此题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．