Question

如图，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴相交于A，B，点A在原点左边，点B在原点右边，点P（1，m）（m＞0）在抛物线上，AB=2，tan∠PAB=，
（1）求m的值；
（2）求二次函数解析式．

Answer 1

解：（1）令y=0，得：x²+bx+c=0，
根据韦达定理（设x₁＞x₂）得：x₁+x₂=-b，x₁x₂=c，
∴AB²=（x₁-x₂）²=[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=b²-4c=4，
∴b²-4c=4①，
解方程x²+bx+c=0得：x==，
x₁=，x₂=，
∵P的横坐标为1，
∴m=1+b+c，
tan∠PAB==，
∴5c+4b+1=0②，
由①②得：b=或b=-4，
由图象得：a＞0，b＞0，c＜0，
∴b=，
∴c=-，
∴m=1+b+c=1+-=；

（2）∴二次函数解析式为：y=x²+x-．
分析：（1）题目中给出了比例关系，只需要作出辅助线，利用直角三角形三角函数关系性质建立等量关系，解出m的值．
（2）求出m的值以后，可以知此函数图象过点A、P，利用这两点结合原函数解出函数关系式．
点评：本题主要考查了二次函数与三角形性质的结合，利用直角三角形的性质建立等量关系，寻找解题的突破口．