Question

17．如图，AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证：AD=AE；
（2）连接BC，DE，试判断BC与DE的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）证明△ACD≌△ABE，根据全等三角形的对应边相等即可解答；
（2）由△ACD≌△ABE，得到AD=AE，利用等边对等角得到∠ADE=∠AED，进而证明∠EDO=∠DEO，再证明Rt△BDC≌Rt△BEC，得到∠BCD=∠EBC，根据三角形的内角和得到∠EDO=∠BCD，即可解答．

解答 解：（1）∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
在△ACD与△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠A}\\{∠ADC=∠AEB}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ABE（AAS），
∴AD=AE；
（2）∵△ACD≌△ABE，
∴AD=AE，CD=BE，
∴∠ADE=∠AED，
∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
∴∠ADE+∠EDO=∠AED+∠DEO=90°，
∴∠EDO=∠DEO，
在Rt△BDC和Rt△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CB}\\{CD=BE}\end{array}\right.$
∴Rt△BDC≌Rt△BEC，
∴∠BCD=∠EBC，
∵∠EDO+∠DEO+∠DOE=180°，∠BCD+∠EBC+∠BOC=180°，∠DOE=∠BOC，
∴∠EDO=∠BCD，
∴DE∥BC．

点评 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等．