Question

已知，a，b，c是△ABC的边，且a=

2c2

1+c2

，b=

2a2

1+a2

，c=

2b2

1+b2

，则此三角形的面积是：

 

．

Answer 1

分析：首先将将三式全部取倒数，然后再将所得三式相加，即可得：

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

2c2

+

1

2a2

+

1

2b2

+

3

2

，再整理，配方即可得：（

1

a

-1）²+（

1

b

-1）²+（

1

c

-1）²=0，则可得此三角形是边长为1的等边三角形，则可求得此三角形的面积．

解答：解：∵a=

2c2

1+c2

，b=

2a2

1+a2

，c=

2b2

1+b2

，
∴全部取倒数得：

1

a

=

1

2c2

+

1

2

，

1

b

=

1

2a2

+

1

2

，

1

c

=

1

2b2

+

1

2

，
将三式相加得：

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

2c2

+

1

2a2

+

1

2b2

+

3

2

，
两边同乘以2，并移项得：

1

a2

-

2

a

+

1

b2

-

2

b

+

1

c2

-

2

c

+3=0，
配方得：（

1

a

-1）²+（

1

b

-1）²+（

1

c

-1）²=0，
∴

1

a

-1=0，

1

b

-1=0，

1

c

-1=0，
解得：a=b=c=1，
∴△ABC是等边三角形，
∴△ABC的面积=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

．
故答案为：

3

4

．

点评：此题考查了对称式和轮换对称式的知识，考查了配方法与等边三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是将三式取倒数，再利用配方法求解，得到此三角形是边长为1的等边三角形．