题目内容
将两个全等的直角三角形ABC和DEC，按如图1方式放置．其中，∠ABC=∠DEC=90°，AB与DE交于点O．
（1）通过观察和测量，猜想AE、BD的数量关系为______；CO与AD的位置关系是______；
（2）将三角形DEC绕点C逆时针旋转至图2所示的位置，（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明；不成立，请说明理由．
（3）将三角形DEC绕点C继续旋转至图3所示的位置，（1）中的猜想是否还成立（直接写出结论，不需证明）．
【答案】分析：（1）根据已知条件即可推理得出结论；
（2）根据题意证明△DCB≌△ACE，根据全等三角形性质推理得出Rt△COB≌Rt△COE，然后根据等腰三角形的顶角平分线的性质即可得出答案；
（3）根据（2）中结论可得出答案．
解答：解：（1）AE=BD，CO⊥AD．
证明：∵△ABC≌△DEC，
∴AC=CD，BC=CE，
∴AE=BD；
∵∠ABC=∠DEC=90°，
∴点O是△ACD的外心，
∴CO⊥AD．
（2）成立，
证明：由题意可知：AC=DC，CE=CB，∠DCE=∠ACB，
∴∠DCB=∠ACE，
∴△DCB≌△ACE，
∴DB=AE，
在Rt△COB和Rt△COE中，
∵CB=CE，CO=CO，
∴Rt△COB≌Rt△COE，
∴∠BCO=∠ECO，
∴∠DCO=∠ACO，
∴在等腰△ACD，CO是顶角的平分线，
∴CO⊥AD，
（3）成立．
点评：本题主要考查了旋转的性质及全等三角形的证明及性质，同时考查了等腰三角形顶角平分线的性质，难度适中．
（2）根据题意证明△DCB≌△ACE，根据全等三角形性质推理得出Rt△COB≌Rt△COE，然后根据等腰三角形的顶角平分线的性质即可得出答案；
（3）根据（2）中结论可得出答案．
解答：解：（1）AE=BD，CO⊥AD．
证明：∵△ABC≌△DEC，
∴AC=CD，BC=CE，
∴AE=BD；
∵∠ABC=∠DEC=90°，
∴点O是△ACD的外心，
∴CO⊥AD．
（2）成立，
证明：由题意可知：AC=DC，CE=CB，∠DCE=∠ACB，
∴∠DCB=∠ACE，
∴△DCB≌△ACE，
∴DB=AE，
在Rt△COB和Rt△COE中，
∵CB=CE，CO=CO，
∴Rt△COB≌Rt△COE，
∴∠BCO=∠ECO，
∴∠DCO=∠ACO，
∴在等腰△ACD，CO是顶角的平分线，
∴CO⊥AD，
（3）成立．
点评：本题主要考查了旋转的性质及全等三角形的证明及性质，同时考查了等腰三角形顶角平分线的性质，难度适中．
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