Question

【题目】在中，，点D是外一点，点D与点C在直线的异侧，且点不共线，连接．

（1）如图1，当时，画出图形，直接写出之间的数量关系；

（2）当时，利用图2，继续探究之间的数量关系并证明；

（提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）

（3）当时，进一步探究之间的数量关系，并用含的等式直接表示出它们之间的关系．

Answer 1

【答案】（1）图形见解析，之间的数量关系是；（2）；（3）

【解析】

（1）画出图形即可证得△ABC是等边三角形，以BD为边向外作等边△BDE，利用SAS可证明△ABE≌△CBD故AE=CD，运用勾股定理即可的出答案；

（2）过点A作，且，利用勾股定理可得，利用SAS可证明，可得．

运用勾股定理在中，，即可得出答案；

（3）以BD为底边构造等腰△BDE，使 ，连接AE，CD，过点A作AH⊥BC于点H，由两边成比例和它们的夹角相等可判定△ABC∽△EBD，故∠ABC=∠ACB=∠EBD=∠EDB，可得∠ADE=90°．

由△BED∽△BAC可得：，进而证明△EBA∽△DBC，可得 有三角函数可得推出，，利用勾股定理，将AE、DE代入 即可得出答案

解：（1）

∵ ，AB=AC

∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°

∴△ABC是等边三角形

以BD为边向外作等边△BDE连接AE，CD

∵△ABC，△BDE都是等边三角形

∴BA=BC=AC，BD=BE=DE

∠ABC=∠DBE=60°

∴∠ABC+∠ABD=∠DBE+∠ABD

∴∠CBD=∠ABE

在△ABE和△CBD中

∴△ABE≌△CBD（SAS）

∴AE=CD

∵∠ADB=30°，∠BDE=60°

∴∠ADE=∠ADB+∠BDE=90°

在Rt△ADE中

即

故答案为：

（2）如图，过点A作，且，连接．

．

可得．

，

．

又，

．

在中，．

．

（3）以BD为底边构造等腰△BDE

使 ，连接AE，CD

过点A作AH⊥BC于点H

∵AB=AC，BE=DE，∠BAC=∠BED=

∴

∴△ABC∽△EBD

∴∠ABC=∠ACB=∠EBD=∠EDB

=

=

∵

∴∠ADE=∠ADB+∠EDB=90°

∵△BED∽△BAC

∴

∵∠EBD+∠ABD=∠ABC+∠ABD

∴∠EBA=∠DBC

∴

∴△EBA∽△DBC

∴

∴AB=AC，AH⊥BC

∴

∴

∴

∴

∴

同理

∴

在Rt△ADE中

∴

∴

即．

故答案为：