Question

【题目】如图，已知，点在边上，.过点作于点，以为一边在内作等边，点是围成的区域（包括各边）内的一点，过点作交于点，作交于点.设，，则最大值是_______.

Answer 1

【答案】

【解析】

过P作PH⊥OY于点H，构建含30°角的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP=OD=a，在Rt△HEP中，由∠EPH=30°，可得EH的长，从而可得a+2b与OH的关系，确认OH取最大值时点H的位置，可得结论.

解：过P作PH⊥OY于点H，

∵PD∥OY，PE∥OX，

∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，

∴EP=OD=a，∠EPH=30°，

∴EH=EP=a，

∴a+2b=2（）=2(EH+EO)=2OH，

∴当P在点B处时，OH的值最大，

此时，OC=OA=1，AC==BC，CH=，

∴OH=OC+CH=1+=，此时a+2b的最大值=2×=5.

故答案为5.