Question

如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），C点坐标为（0，-3）．

    ⑴求此抛物线的解析式；

⑵若点G（2，-3）是该抛物线上一点，点E是直线AG下方的抛物线上一动点，当点E运动到什么位置时，△AEG的面积最大？求出此时E点的坐标和△AEG的最大面积.

    ⑶若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解： （1）

 （2）当E运动到时有最大面积，最大面积是，理由如下：

过E作EF⊥X轴于F，过G作GH⊥X轴于H 设E（），则F（），EF=-（）

因为G（2，-3）所以GH=3.

，，

所以

当时，有最大值为

将代入得所以E

           

E

   ，      

(3) 存在，Q（1，0）或()或（）

       理由:因为MN平行与x轴，所以M、N关于x=1对称

     ⅰ若NQ=QM,则Q必在MN的中垂线即对称轴x=1上，所以Q(1,0)

ⅱ若QN=MN,则∠QMN=90°,

设,

MN==

QN=,所以=，其中

同理若 QM=MN,QM=,,综上可得=

解得