Question

如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点，
（1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；
（2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论

Answer 1

解：（1）△DEF是等边三角形．
证明如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C，
AB=BC=CA，
又∵AD=BE=CF，
∴DB=EC=FA，
∴△ADF≌△BED≌△CFE，
∴DF=DE=EF，
即△DEF是等边三角形
（2）AD=BE=CF成立．
证明如下：
如图，∵△DEF是等边三角形，
∴DE=EF=FD，
∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°，
∴∠1+∠2=120°，
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠2+∠3=120°，
∴∠1=∠3，
同理∠3=∠4，
∴△ADF≌△BED≌△CFE，
∴AD=BE=CF