Question

如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD.

（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）若∠BAC = 60°，OA = 2，求阴影部分的面积（结果保留）.

Answer 1

（1）证明：连接OD.

∵BC是⊙O的切线，D为切点，

∴OD⊥BC.············ 1分

又∵AC⊥BC，

∴OD∥AC，··········· 2分

∴∠ADO=∠CAD.········· 3分

又∵OD=OA，

∴∠ADO=∠OAD，···························· 4分

∴∠CAD=∠OAD，即AD平分∠BAC.····················· 5分

（2）方法一：连接OE，ED.

∵∠BAC=60°，OE=OA，

∴△OAE为等边三角形，

∴∠AOE=60°，

∴∠ADE=30°.

又∵，

∴∠ADE=∠OAD，

∴ED∥AO，············ 6分

∴S_△AED＝S_△OED，

∴阴影部分的面积 = S_扇形ODE = .··············· 9分

方法二：同方法一，得ED∥AO，······················ 6分

∴四边形AODE为平行四边形，

∴····················· 7分

又S_扇形ODE－S_△OED=················· 8分

∴阴影部分的面积 = (S_扇形ODE－S_△OED) + S_△AED =.······ 9分