Question

观察：

1

1×2

+

1

2×3

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)=1-

1

3

=

1

2

，

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)=1-

1

4

=

3

4

（1）计算

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

99×100

；
（2）若

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2n(2n+2)

=

1001

4008

，求n的值．

Answer 1

分析：（1）根据上面的规律先将原式展开，再计算即可；
（2）原等式变形为

1

2

（

1

2

-

1

4

+

1

4

-

1

6

+

1

6

-

1

8

+…+

1

2n

-

1

2n+2

）=

1001

4008

，再进行求解即可．

解答：解：（1）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

99

-

1

100

=1-

1

100

=

99

100

；
（2）原式变形为：

1

2

（

1

2

-

1

4

+

1

4

-

1

6

+

1

6

-

1

8

+…+

1

2n

-

1

2n+2

）=

1001

4008

，
整理得，

1

2

（

1

2

-

1

2n+2

）=

1001

4008

，

1

2

-

1

2n+2

=

1001

2004

，
去分母得，1002（n+1）-1002=1001（（n+1）
移项得，1002（n+1）-1001（n+1）=1002，
合并得n=1001，
经检验，n=1001是原方程的解，
则n=1001．

点评：本题是一道规律题，考查了分式的加减，是基础知识比较简单．