题目内容

如图，四边形OABC为正方形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B（8，8），点P在边OC上，点M在边AB上．把四边形OAMP沿PM对折，PM为折痕，使点O落在BC边上的点Q处．动点E从点O出发，沿OA边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t，同时动点F从点O出发，沿OC边以相同的速度向终点C运动，当点E到达点A时，E、F同时停止运动．
（1）若点Q为线段BC边中点，直接写出点P、点M的坐标；
（2）在（1）的条件下，设△OEF与四边形OAMP重叠面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在（1）的条件下，在正方形OABC边上，是否存在点H，使△PMH为等腰三角形，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）若点Q为线段BC上任一点（不与点B、C重合），△BNQ的周长是否发生变化，若不发生变化，求出其值，若发生变化，请说明理由．

解：（1）∵点Q为线段BC边中点，B（8，8），
∴P（0，5），M（8，1）；

（2）①当0≤t≤5时，S= $\text{[math]}$
②当5≤t≤8时，如图，设EF与PM交点为R，作RI⊥y轴，MS⊥y轴，

∵EO=FO，∴RI=FI，
又∵ $\text{[math]}$ ，
∴RI=2PI，
∴FI=2PI，
∴FP=PI，RI=2PF，
∴PF=t-5，RI=2（t-5），
∴S=S_△OEF-S_△PRF，
= $\text{[math]}$ ，
= $\text{[math]}$ ；

（3）①如图作PM的中垂线交正方形的边为点H₁，H₂，

则PH₁=MH₁，PH₂=MH₂，
∴点H₁，H₂即为所求点，
设OH₁=x，∵PH₁=MH₁，
∴x²+5²=（8-x）²+1² $\text{[math]}$ ，
∴H₁（ $\text{[math]}$ ），
同理，设CH₂=y，∵PH₂=MH₂，
∴3²+y²=（8-y）²+7² $\text{[math]}$ ，
∴H₂（ $\text{[math]}$ ），
②当PM=PH₃时，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
③当PM=MH₄时，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
综上，一共存在四个点，H₁（ $\text{[math]}$ ），H₂（ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

（4）∵∠PQN=90°，
∴∠CQP+∠BQN=90°，
又∵∠CQP+∠CPQ=90°，
∴∠CPQ=∠BQN，
又∵∠C=∠B=90°，
∴△CPQ∽△BQN，
设CQ=m，则在Rt△CPQ中，
∵m²+CP²=（8-CP）²，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
又∵△CPQ的周长=CP+PQ+CQ=8+m，
∴△BQN的周长= $\text{[math]}$ ，
=16．
∴△BQN的周长不发生变化，其值为16．
分析：（1）本题根据图形，知道点Q为线段BC边中点，有知道点B的坐标，所以可以求出P、M的坐标．
（2）本题需先根据（1）的条件，可以分两种情况进行解答，第一种情况当0≤t≤5时，可以求出S的值，第二种情况当5≤t≤8时，设EF与PM交点为R，作RI⊥y轴，MS⊥y轴，可以证出RI=FI，有根据FI=2PI可以证出FP=PI，PI=2PF，PF=t-5，RI=2（t-5）
最后解出结果．
（3）本题需先根据（1）的条件，可以分三种情况进行讨论，第一种情况先作PM的中垂线交正方形的边为点H₁，H₂，则PH₁=MH₁，PH₂=MH₂，所以点H₁，H₂即为所求点，分别求出H₁、H₂的坐标；第二种情况当PM=PH₃时的情况，分别求出PM、MH₃、OH₃的值，最后求出H₃的坐标．第三种情况当PM=MH₄时，分别求出PM、MH₄ BH4的值，即可求出H₄ 的坐标．
（4）本题需先根据所给的条件证出△CPQ∽△BQN，再设CQ=m，根据三角形的性质即可求出△BQN的周长．
点评：本题主要考查了相似三角形判定和的性质，在解题时要注意要根据点的不同位置进行分类讨论．