Question

3．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD．连接AC、BD，AC⊥DC．过点B作BE⊥AC，分别交AC、AD于点E、F．点G为BD中点，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△DAC；
（2）根据题中所给条件，猜想：CE与CG的数量关系，
并请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用AAS，只要证明∠ABE=∠DAC，即可解决问题；
（2）只要证明△CAG≌△EBG，想办法证明△CEG是等腰直角三角形即可解决问题．

解答 （1）证明：∵AB⊥AD，
∴∠BAE+∠DAC=90°，
又∵BE⊥AC，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠DAC，
∵AC⊥DC，
∴∠DCA=∠AEB=90°，
又∵AB=AD
∴△ABE≌△DAC．

（2）解：结论：CE=$\sqrt{2}$CG．
理由：连结AG、EG
由（1）知BE=AC，∠DAC=∠ABE，
∵∠BAD=90°，AB=AD，G为BD的中点，
∴AG=BG，∠DAG=∠BAG=∠ABD=45°．
∵∠DAC=∠ABE，
∴∠CAG=∠EBG，
在△CAG和△EBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=AC}\\{AG=BG}\\{∠CAG=∠EBG}\end{array}\right.$，
∴△CAG≌△EBG，
∴CG=EG，∠ACG=∠BEG，
∴∠ACG=∠CEG，
∴∠ACG=∠CEG=∠GEB，
又∵BE⊥AC，
∴∠ACG=∠CEG=∠GEB=45°，
∴∠CGE=90°，
∴CE=$\sqrt{2}$CG．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质和判定、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．