Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；

（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+4；（2）点E的坐标为（1，），（3，）；（3）菱形的边长为4﹣4．

【解析】

试题分析：（1）把点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4）代入y=ax2+bx+c，用待定系数法求出抛物线解析式即可．（2）分点E在直线CD上方的抛物线上和点E在直线CD下方的抛物线上两种情况，用三角函数求解即可；（3）分CM为菱形的边和CM为菱形的对角线两种情况，用菱形的性质进行计算即可.

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），

∴设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），

∴﹣8a=4，

∴a=﹣，

∴抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+4；

（2）如图1，

①点E在直线CD上方的抛物线上，记E′，

连接CE′，过E′作E′F′⊥CD，垂足为F′，

由（1）知，OC=4，

∵∠ACO=∠E′CF′，

∴tan∠ACO=tan∠E′CF′，

∴=，

设线段E′F′=h，则CF′=2h，

∴点E′（2h，h+4）

∵点E′在抛物线上，

∴﹣（2h）2+2h+4=h+4，

∴h=0（舍）h=

∴E′（1，），

②点E在直线CD下方的抛物线上，记E，

同①的方法得，E（3，），

点E的坐标为（1，），（3，）

（3）①CM为菱形的边，如图2，

在第一象限内取点P′，过点

P′作P′N′∥y轴，交BC于N′，过点P′作P′M′∥BC，

交y轴于M′，

∴四边形CM′P′N′是平行四边形，

∵四边形CM′P′N′是菱形，

∴P′M′=P′N′，

过点P′作P′Q′⊥y轴，垂足为Q′，

∵OC=OB，∠BOC=90°，

∴∠OCB=45°，

∴∠P′M′C=45°，

设点P′（m，﹣m2+m+4），

在Rt△P′M′Q′中，P′Q′=m，P′M′=m，

∵B（4，0），C（0，4），

∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，

∵P′N′∥y轴，

∴N′（m，﹣m+4），

∴P′N′=﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）=﹣m2+2m，

∴m=﹣m2+2m，

∴m=0（舍）或m=4﹣2，

菱形CM′P′N′的边长为（4﹣2）=4﹣4．

②CM为菱形的对角线，如图3，

在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM∥BC，

交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N，

∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，

∵四边形CPMN是菱形，

∴PQ⊥CM，∠PCQ=∠NCQ，

∵∠OCB=45°，

∴∠NCQ=45°，

∴∠PCQ=45°，

∴∠CPQ=∠PCQ=45°，

∴PQ=CQ，

设点P（n，﹣n2+n+4），

∴CQ=n，OQ=n+2，

∴n+4=﹣n2+n+4，

∴n=0（舍），

∴此种情况不存在．

∴菱形的边长为4﹣4．