Question

已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD互相垂直，P、Q、R、S分别为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形PQRS是（　　）

A．梯形

B．矩形

C．菱形

D．正方形

Answer 1

分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得PS∥BD，PS=

1

2

BD，QR∥BD，QR=

1

2

BD，同理可得PQ∥AC，PQ=

1

2

AC，SR∥AC，SR=

1

2

AC，再根据等腰梯形的对角线相等可得AC=BD，然后证明四边形PQRS是菱形，再根据平行线的性质证明得到∠SPQ=90°，再根据有一个角是直角的菱形是正方形解答．

解答：解：∵P、Q、R、S分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴在△ABD中，PS∥BD，PS=

1

2

BD，
在△BCD中，QR∥BD，QR=

1

2

BD，
同理可得，PQ∥AC，PQ=

1

2

AC，SR∥AC，SR=

1

2

AC，
∵AD∥BC，AB=CD，
∴AC=BD，
∴SP=PQ=QR=SR，
∴四边形PQRS是菱形，
又∵AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∵PQ∥AC，
∴∠1=180°-∠BOC=180°-90°=90°，
∵PS∥BD，
∴∠SPQ=∠1=90°，
∴菱形PQRS是正方形．
故选D．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰梯形的对角线相等的性质，正方形的判定，比较复杂但难度不大，熟记性质是解题的关键．