题目内容

已知：如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6．OA、OB的长是关于x的方程x²-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）求cos∠ABC的值；
（2）若E是x轴正半轴上的一点，且 $数学公式$ ，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似，同时说明理由；
（3）点M在平面直角坐标系中，点F在直线AB上，如果以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形，请直接写出F点坐标．

解：（1）x²-7x+12=0，
（x-3）（x-4）=0，
∴x-3=0，x-4=0，
解得x₁=3，x₂=4，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
在△AOB中，AB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =5，
∴cos∠ABC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（2）根据题意，设E（x，0），则
S_△AOE= $\text{[math]}$ ×OA×x= $\text{[math]}$ ×4x= $\text{[math]}$ ，
解得x= $\text{[math]}$ ，
∴E（ $\text{[math]}$ ，0），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点D的坐标是（6，4），
设经过D、E两点的直线的解析式为y=kx+b，
则 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴解析式为y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ；
在△AOE与△DAO中， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又∵∠AOE=∠OAD=90°，
∴△AOE∽△DAO；

（3）根据计算的数据，OB=OC=3，
∴AO平分∠BAC，
①点F在射线AB上时，AF=AC=5，
所以点F与B重合，
即F（-3，0），
②点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，
点F（3，8）．
③F（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），④（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）解一元二次方程求出OA，OB的长度，再利用勾股定理求出AB的长度，然后根据三角函数的定义余弦=邻边：斜边计算即可；
（2）先根据三角形的面积求出点E的坐标，并根据平行四边形的对边相等的性质求出点D的坐标，然后利用待定系数法求解直线的解析式；分别求出两三角形夹直角的两对应边的比，如果相等，则两三角形相似，否则不相似；
（3）分点F在射线AB上与射线BA上两种情况，结合菱形的对角线平分一组对角的性质求解．
点评：本题考查了解一元二次方程，相似三角形的性质与判定，待定系数法求函数解析式，综合性较强，（3）求点F要注意分两种情况进行讨论，不要漏解．