Question

如果一元二次方程ax²+bx+c=0的两根x₁、x₂均为正数，且满足（其中x₁＞x₂），那么称这个方程有“邻近根”．
（1）判断方程是否有“邻近根”，并说明理由；
（2）已知关于x的一元二次方程mx²-（m-1）x-1=0有“邻近根”，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）方程有“邻近根”．理由如下：
∵，
∴（x-1）（x-）=0，
∵x₁＞x₂，
∴x₁=，x₂=1，
这时x₁＞0，x₂＞0，且，
∵，
∴满足，
∴方程有“邻近根”；

（2）由已知m≠0且△=（m-1）²-4m×（-1）=（m+1）²≥0，
∴
∴x₁=1，或，x₂=1，
∵一元二次方程ax²+bx+c=0有“邻近根”，
∴x₁、x₂均为正数，
∴m＜0
若x₁=1，，则，是关于m的正比例函数，
∵-1＜0，
∴随m的增大而减小．
当1＜-m＜2时，
∴-2＜m＜-1；
若，x₂=1，则，是关于m的反比例函数，
∵-1＜0，
∴在第二象限，随m的增大而增大．
当时，
∴．…
综上，m的取值范围是-2＜m＜-1或．
分析：（1）先解方程得到x₁=，x₂=1，则满足，所以可判断方程有“邻近根”；
（2）根据判别式的意义得到m≠0且△=（m-1）²-4m×（-1）=（m+1）²≥0，利用求根公式解得x₁=1，或，x₂=1，则m＜0，然后讨论：
若x₁=1，，则，是关于m的正比例函数，根据正比例函数性质得到-2＜m＜-1；
若，x₂=1，则，是关于m的反比例函数，根据反比例函数性质得，最后综合得到m的取值范围．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程和正比例与反比例函数性质．