Question

在△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△CD′E′（使∠BCE′< 180°），连接AD′、BE′，设直线BE′与AC交于点O。
（1）如图（1），当AC=BC时，AD′：BE′的值为____；
（2）如图（2），当AC=5，BC=4时，求AD′：BE′的值；
（3）在（2）的条件下，若∠ACB=60°，且E为BC的中点，求△OAB面积的最小值。

Answer 1

解：（1）1； （2）∵DE∥AB， ∴ △CDE∽△CAB， ∴ 由旋转图形的性质得，EC=E′C，DC=D′C， ∴  ∵∠ECD=∠E′CD′， ∴∠ECD+∠ACE′=∠ E′CD′+∠ACE′，即∠BCE′=∠ACD′ ∴△BCE′∽△ACD′ ∴； （3）作BM⊥AC于点M，则BM=BC·sin60°， ∵为BC中点， ∴CE=BC=2， △CDE旋转时，点E′在以点C为圆心、CE长为半径的圆上运动 ∵CO随着∠CBE′的增大而增大， ∴当BE′与⊙C相切时，即∠BE′C=90°时最大，则CO最大， ∴此时∠CBE′=30°，CE′=BC=2=CE ∴点E′在AC上，即点E′与点O重合， ∴CO=CE′=2， 又∵CO最大时，AO最小，且AO=AC-CO=3， ∴S△OAB最小=AO · BM=3。