Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点B，AO是⊙M的直径，其半圆交AB于点C，且AC=3．取BO的中点D，连接CD、MD和OC．
（1）求证：CD是⊙M的切线；
（2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求△PDM的周长最小时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当△PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点Q，使S_△QAM=S_△PDM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：连接CM，
∵AO是直径，M是圆心，
∴CM=OM，∠ACO=90°，
∴∠MOC=∠MCO．
∵D为OB的中点，
∴CD=OD，
∴∠DOC=∠DCO．
∵∠DOC+∠MOC=90°，
∴∠DCO+∠MCO=90°，
即∠MCD=90°，
∴CD是⊙M的切线；

（2）解：∵∠ACO=∠AOB=90°，∠OAB=∠OAB，
∴△ACO∽△AOB，
∴，
∴，
∴AB=．
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
BO=，
∵D为OB的中点，
∴OD=OB=，
∴D（0，）．
∵OM=AM=OA=，
∴M（，0）．设抛物线的解析式为y=a（x-）（x-5），由题意，得
=a（0-）（0-5），
解得：a=，
∴抛物线的解析式为：y=（x-）（x-5），
=（x-）²-．
连接AD交对称轴于P，设直线AD的解析式为y=kx+b，由题意，得
，
解得：，
∴直线AD的解析式为：y=-x+，
当x=时，
y=，
∴P（，）；

（3）解：存在．
∵S_△PDM=S_△ADM-S_△APM，
∴S_△PDM=××-××，
=，
∴S_△QAM==．
设Q的坐标为m，由题意，得
，
∴|m|=，
∴m=±，
当m=时，
=（x-）²-．
x₁=，x₂=，
当m=-时，
-=（x-）²-．
x=．
∴Q（，），（，），（，-）．
分析：（1）连接CM，可以得出CM=OM，就有∠MOC=∠MCO，由OA为直径，就有∠ACO=90°，D为OB的中点，就有CD=OD，∠DOC=∠DCO，由∠DOC+∠MOC=90°就可以得出∠DCO+∠MCO=90°而得出结论；
（2）根据条件可以得出△ACO∽△AOB而求出，从而求出AB，在Rt△AOB中由勾股定理就可以求出OB的值，根据D是OB的中点就可以求出D的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式，求出对称轴，根据轴对称的性质连接AD交对称轴于P，先求出AD的解析式就可以求出P的坐标；
（3）根据S_△PDM=S_△ADM-S_△APM而求出其值就可以表示出S_△QAM的大小，设Q的坐标为m，根据三角形的面积公式就可以求出横坐标而得出结论．
点评：本题考查圆周角定理的运用，勾股定理的运用，圆的切线的判定定理的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，抛物线的顶点式的运用，三角形的面积公式的运用，轴对称性质的运用，解答时求出抛物线的解析式是解答本题的关键．