Question

已知m，n为整数，方程x2+(n-2)

n-1

x+m+18=0有两个不相等的实数根，方程x2+(n-6)

n-1

x+m-37=0有两个相等的实数根．求n的最小值，并说明理由．

Answer 1

分析：因为

n-1

有意义，则n-1≥0，再根据方程x2+(n-2)

n-1

x+m+18=0有两个不相等的实数根，则△＞0，即△=（n-2）²（n-1）-4（m+18）＞0①；又方程x2+(n-6)

n-1

x+m-37=0有两个相等的实数根，则△′=0，即△′=（n-6）²（n-1）-4（m-37）=0②，然后①-②，得到关于n的不等式，解之得到n的取值范围，最后找到n的最小值．

解答：解：∵

n-1

有意义，
∴n-1≥0，即n≥1，
而n为整数，所以n≥1的整数．
又∵方程x2+(n-2)

n-1

x+m+18=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即△=（n-2）²（n-1）-4（m+18）＞0①；
又方程x2+(n-6)

n-1

x+m-37=0有两个相等的实数根，
∴△′=0，即△′=（n-6）²（n-1）-4（m-37）=0②，
①-②整理得：2n²-10n-47＞0，
令2n²-10n-47=0，
解得n₁=

5- 119

2

，n₂=

5+ 119

2

，
∴n＜

5- 119

2

或n＞

5+ 119

2

，
而n≥1的整数，
所以n＞

5+ 119

2

的整数．
则n的最小整数为8，并且（8-6）²（8-1）-4（m-37）=0，
解得m=42，为整数满足条件．
所以n的最小整数为8．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了运用二次函数图象解一元二次方程的方法．