Question

【题目】如图，四边形是正方形，点、分别是、上的点，且，连接、交于点．

（1）如图①，判断和之间的数量关系和位置关系，并证明；

（2）如图②，连接，点是中点，若，，求线段的长度；

（3）如图③，作于点，若，求证：点是中点．

Answer 1

【答案】（1），，证明见解析；（2）；（3）见解析．

【解析】

（1）先根据正方形的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，，然后根据等量代换、三角形的内角和定理可得，由此即可得；

（2）先根据三角形全等的性质、正方形的性质求出，再根据勾股定理可求出，然后结论（1）的结论，利用直角三角形的性质即可得；

（3）先根据相似三角形的判定与性质得出，再根据相似三角形的性质可得，从而可得，即可得出，然后由（1）已证出，最后根据等量代换可得，即得证．

（1），，证明如下：

∵四边形是正方形

∴，

∵

∴

∴，

∵

∴

∴

∴；

（2）由（1）已证：

∵，

∵四边形是正方形

∴

在中，由勾股定理得：

由（1）已证：

是直角三角形

在中，，点是中点

∴；

（3）∵

∴

又

∴

∴

∵

∴，即

∴

∴

又∵

∴

∴点是中点．