Question

5．如图，I是△ABC的内心，AI⊥DE，DB=1，CE=3，DE=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据I是△ABC的内心，可知BI、AI、CI是各内角的平分线，设∠ABI=x，∠ACI=y，∠BAI=z，根据三角形的内角和定理得：x+y+z=90°，在△ABI中，根据内角和得∠BID=90°-x-z，则∠BID=y=∠ACI，再由等腰三角形AED中三线合一的性质得：两底角相等，则两底角的外角也相等；证明△BDI∽△IEC，得$\frac{BD}{IE}=\frac{DI}{EC}$，代入计算可求出IE的长，则DE=2IE，求出结论．

解答 解：设∠ABI=x，∠ACI=y，∠BAI=z，
∵I是△ABC的内心，
∴2x+2y+2z=180°，
∴x+y+z=90°，
在△ABI中，∠ABI+∠BAI+∠AIB=180°，
∵AI⊥DE，
∴∠AID=90°，
∴x+z+90°+∠BID=180°，
∴∠BID=90°-x-z，
∴∠BID=y=∠ACI，
∵AI平分∠BAC，
∴AD=AE，
∴∠ADI=∠AEI，DI=EI，
∴∠BDI=∠IEC，
∴△BDI∽△IEC，
∴$\frac{BD}{IE}=\frac{DI}{EC}$，
∵DB=1，CE=3，
∴$\frac{1}{IE}=\frac{IE}{3}$，
∴IE=$\sqrt{3}$，
∴DE=2IE=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角形的内心，要知道三角形的内心是内切圆的圆心，三条角平分线的交点；反之也成立，即知道内心是I，则IA、IB、IC是三个角的平分线；本题的关键是证明两三角形相似，利用角平分线平分角的性质和三角形内角和定理得出等量关系式，利用两角对应相等，证明相似．