题目内容

如图，矩形A′BC′O′是矩形ABCO绕点B顺时针旋转得到的．其中点O'，C在x轴负半轴上，线段OA在y轴正半轴上，B点的坐标为（-1，3）．
（1）如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过O、O′两点且图象顶点M的纵坐标为
-1．求这个二次函数的解析式；
（2）求边O′A′所在直线的解析式；
（3）在（1）中求出的二次函数图象上是否存在点P，使得S△PO′M=3S△CO′D，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
分析：（1）连接BO、BO′，根据旋转的性质可得BO=BO′，再根据对称性可知OC=O′C，然后结合点B的坐标求出点O′的坐标以及顶点M的坐标，利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先利用角角边证明△A′BD与△CO′D全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=O′D，然后在Rt△CDO′中，利用勾股定理求出CD的长度，即可得到点D的坐标，再利用待定系数法求出直线O′A′的解析式；
（3）先求出△CO′D的面积，然后根据抛物线的解析式设点P的坐标为（x，x2+2x），过点P作PQ⊥x轴交直线O′M于点Q，求出直线O′M的解析式，然后设出点Q的坐标为（x，-x-2），然后根据S△PO′M=S△PQM-S△PO′Q，然后根据三角形的面积列式整理得到关于x的一元二次方程，求解即可得到点P的坐标．
解答：解：（1）如图1，连接BO、BO′，由旋转的性质得BO=BO′，
∵BC⊥OC，
∴O′C=OC，
∵点B的坐标为（-1，3），顶点M的纵坐标为-1，
∴点O′（-2，0），M（-1，-1），
∴
c=0
4a-2b+c=0
a-b+c=-1
，
解得
a=1
b=2
c=0
，
∴这个二次函数的解析式为y=x2+2x；

（2）如图1，在△A′BD与△CO′D中，
∠A′=∠DCO′=90°
∠CDO′=∠A′DB
A′B=CO′=1
，
∴△A′BD≌△CO′D（AAS），
∴BD=O′D，
∴O′D=3-CD，
在Rt△CDO′中，O′D2=CD2+O′C2，
即（3-CD）2=CD2+12，
解得CD=
4
3
，
∴点D的坐标为（-1，
4
3
），
设直线O′A′的解析式为y=kx+b，
则
-k+b=
4
3
-2k+b=0
，
解得
k=
4
3
b=
8
3
，
∴直线O′A′的解析式为y=
4
3
x+
8
3
；

（3）如图2，由点D的坐标为（-1，
4
3
）可得S△CO′D=
1
2
O′C•CD=
1
2
×1×
4
3
=
2
3
，
若存在点P，使得S△PO′M=3S△CO′D，则S△PO′M=3×
2
3
=2，
由O′（-2，0），M（-1，-1）得，
-2k+b=0
-k+b=-1
，
解得
k=-1
b=-2
，
∴直线O′M的解析式为y=-x-2，
设点P的坐标为（x，x2+2x），
过点P作PQ⊥x轴交O′M于点Q，则点Q的坐标为（x，-x-2），
∴S△PO′M=S△PQM-S△PO′Q，
即S△PO′M=
1
2
[（x2+2x）-（-x-2）]•[（-1-x）-（-2-x）]=2，
整理得，x2+3x-2=0，
解得x=
-3±
17
2
，
当x=
-3+
17
2
时，y=x2+2x=
7-
17
2
，
当x=
-3-
17
2
时，y=x2+2x=
7+
17
2
，
∴存在点P1（
-3+
17
2
，
7-
17
2
），P2（
-3-
17
2
，
7+
17
2
）．
点评：本题综合考查了二次函数的问题，有旋转变换的性质，待定系数法求二次函数解析式，求直线的解析式，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，以及矩形的性质，综合性较强，难度较大，（3）中利用函数解析式设点的方法比较重要，也是求解的关键．
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（3）求边C′O′所在直线的解析式．
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