Question

如图，点O是平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，将直线DB绕点O顺时针方向旋转，交DC、AB于点E、F，若DB=2，AD=1，AB=

5

．
（1）求证：当旋转角为90°，四边形AFED是平行四边形；
（2）当旋转角为45°时，判断四边形AECF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用勾股定理的逆定理得出∠ADB=90°，旋转角的定义可得∠DOE=90°，再根据内错角相等，两直线平行可得AD∥EF，根据平行四边形的对边平行可得AF∥DE，然后根据平行四边形的定义即可得证；
（2）先证明四边形AECF的对角线互相垂直，再证明对角线互相平分，然后根据菱形的判定得到四边形AECF是菱形．

解答：（1）证明：∵DB=2，AD=1，AB=

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，
∴DB²+AD²=AB²，
∴∠ADB=90°．
将直线DB绕点O顺时针方向旋转90°时，∠DOE=90°，
∴AD∥EF，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥DE，
∴四边形AFED是平行四边形；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB=

1

2

DB=1，OA=OC，
∴AD=OD=1，
由（1）知△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，
∴△OAD是等腰直角三角形，
∴∠AOD=45°．
当直线DB绕点O顺时针旋转45°时，即∠DOE=45°，
∴∠AOE=90°，即EF⊥AC．
在△DEO与△BFO中，

∠ODE=∠OBF OD=OB ∠DOE=∠BOF

，
∴△DEO≌△BFO，
∴OE=OF，
又∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形．

点评：此题考查了勾股定理的逆定理，旋转的性质，平行线的判定，平行四边形、全等三角形的判定与性质，菱形的判定，综合性较强，有一定难度．