Question

（2013•扬州）如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AD=4，cos∠ABF=

4

5

，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）由BF是⊙O的切线，利用弦切角定理，可得∠3=∠C，又由∠ABF=∠ABC，可证得∠2=∠C，即可得AB=AC；
（2）首先连接BD，在Rt△ABD中，解直角三角形求出AB的长度；然后在Rt△ABE中，解直角三角形求出AE的长度；最后利用DE=AD-AE求得结果．

解答：（1）证明：∵BF是⊙O的切线，
∴∠3=∠C，
∵∠ABF=∠ABC，
即∠3=∠2，
∴∠2=∠C，
∴AB=AC；

（2）解：如图，连接BD，在Rt△ADB中，∠BAD=90°，
∵cos∠ADB=

AD

BD

，∴BD=

AD

cos∠ADB

=

AD

cos∠ABF

=

4

4 5

=5，
∴AB=3．
在Rt△ABE中，∠BAE=90°，
∵cos∠ABE=

AB

BE

，∴BE=

AB

cos∠ABE

=

3

4 5

=

15

4

，
∴AE=

( 15 4 )2-32

=

9

4

，
∴DE=AD-AE=4-

9

4

=

7

4

．

点评：此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．