如图1.抛物线y=ax2+bx+3与x轴.y轴分别交于点A.点C三点．(1)试求抛物线的解析式,在第一象限的抛物线上.连接BC.BD．试问.在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P.满足∠PBC=∠DBC?如果存在.请求出点P点的坐标,如果不存在.请说明理由,的条件下.将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移.记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中.△B� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．如图1，抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（-1，0）、B（3，0）、点C三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？

分析（1）将点A、B代入抛物线解析式，求出a、b值即可得到抛物线解析式；
（2）根据已知求出点D的坐标，在y轴上取点G，使GC=CD=2，只要证明证明△CDB≌△CGB，可知∠PBC=∠DBC，写出直线BP解析式，联立二次函数解析式，求出点P坐标；
（3）分两种情况，第一种情况重叠部分为四边形，利用大三角形减去两个小三角形求得解析式，第二种情况重叠部分为三角形，可利用三角形面积公式求得．

解答解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入抛物线y=ax²+bx+3（a≠0），
$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+3=0}\\{a-b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，b=2．
故抛物线解析式为：y=-x²+2x+3．

（2）存在
将点D代入抛物线解析式得：m=3，
∴D（2，3），
令x=0，y=3，
∴C（0，3），
∴OC=OB，
∴∠OCB=∠CBO=45°，
如下图，

在y轴上取点G，使GC=CD=2，
在△CDB与△CGB中
∵BC=BC、∠DCB=∠BCO、GC=DC（SAS）
∴△CDB≌△CGB，
∴∠PBC=∠DBC，
∵点G（0，1），
设直线BP：y=kx+1，
代入点B（3，0），
∴k=-$\frac{1}{3}$，
∴直线BP：y=-$\frac{1}{3}$x+1，
联立直线BP和二次函数解析式：
$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x+3}\\{y=-\frac{1}{3}x+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\frac{2}{3}}\\{{y}_{1}=\frac{11}{9}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$（舍），
∴P（-$\frac{2}{3}$，$\frac{11}{9}$）．

（3）直线BC：y=-x+3，直线BD：y=-3x+9，
当0≤t≤2时，如下图：
设直线C′B′：y=-（x-t）+3
联立直线BD求得F（$\frac{6-t}{2}$，$\frac{3t}{2}$），

S=S_△BCD-S_△CC′E-S_△C′DF
=$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×t×t-$\frac{1}{2}$×（2-t）（3-$\frac{3t}{2}$）
整理得：S=-$\frac{5}{4}$t²+3t（0≤t≤2）．
当2＜t≤3时，如下图：

H（t，-3t+9），I（t，-t+3）
S=S_△HIB=$\frac{1}{2}$[（-3t+9）-（-t+3）]×（3-t）
整理得：S=t²-6t+9（2＜t≤3）
综上所述：S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{5}{4}{t}^{2}+3t（0≤t≤2）}\\{{t}^{2}-6t+9（2＜t≤3）}\end{array}\right.$．