Question

在四边形ABCD中，AB=3，AD=4，∠BCD=120°，AB⊥BC，AD⊥DC，则BD=

 

，AC=

 

．

Answer 1

分析：根据四边形的内角和定理求出∠BAD=60°，然后在△ABD中由余弦定理求得BD的值；
由已知条件AB⊥BC，AD⊥DC推知AC是四边形ABCD外接圆直径，AC也是△ABD外接圆直径，然后利用正弦定理求出AC的长度即可．

解答：解：如图，∠BAD=180°-120°=60°，
由余弦定理，知
BD=

42+32-2×4×3cos60°

=

13

，
∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴AC是四边形ABCD外接圆直径，
∴AC也是△ABD外接圆直径，由正弦定理得AC=

BC

sin60°

=

2 13

3

=

2

3

39

，
故答案为：

13

，

2

3

39

．

点评：本题主要考查了正弦定理与余弦定理及圆心角、弧、弦的关系．解答此题的难点是求出AC的长度，在解答AC的长度时，要灵活运用正弦定理：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R．