Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，弦CD、AF相交于点G，过点D作⊙O的切线交AF的延长线于M，且

AC

=

CBF

．
（1）在图中找出相等的线段（直接在横线上填写，所写结论至少3组，所添辅助线段除外，不需写推理过程）

 

；
（2）连接AD，DF（请将图形补充完整），若AO=

4

5

15

，OE=

1

5

15

，求AD：DF的值；
（3）在满足（1）、（2）的前提下，求DM的长．

Answer 1

分析：（1）本题中相等的弦较多，不一一列举，得出相等线段的方法大致有3种：
①⊙O的半径相等，如：OA=OB；②垂径定理，如：CE=DE；③等弧对等弦，如：AF=CD；
（2）已知OA、OE的长，即可得出AE、BE的值；根据相交弦定理的推论，可得DE²=AE•EB，由此可求出DE的长，也就求出了CD、DF的长，进而可在Rt△ADE中，求出AD的长，过证△ADG∽△AFD，得：AD²=AG•AF，可求出AG、GF的长，连接AC，易知：△ACG∽△FDG，得AC：DF=AG：GF，AG、GF的长已知，由此可求出AC、DF的比例关系，由于AC=AD，也就得出了AD：DF的值；
（3）先由△DMF∽△AMD，得出DM、AM的比例关系，然后用未知数表示出DM、AM、MF的长，进而可根据切割线定理求出DM的值．

解答：解：（1）CE=DE，OA=OB，CD=AF；

（2）由题意，知：AE=AO+OE=

15

，BE=OB-OE=

3

5

15

，
由相交弦定理，知：DE²=AE•EB=9，即DE=3，CD=6，
Rt△ADE中，由勾股定理，得：
AD²=AE²+DE²=24
∵

AD

=

AC

=

CBF

∴∠ADG=∠AFD
∴△ADG∽△AFD
∴AD²=AG•AF，即AG=

AD2

AF

=4
∴GF=AF-AG=2
连接AC，易证得△ACG∽△FDG
∴

AC

DF

=

AG

GF

=2
∵

AC

=

AD

∴AD=AC，即

AD

AF

=2；

（3）∵MD切⊙O于D，
∴∠MDF=∠MAD
又∵∠FMD=∠DMA
∴△DMF∽△AMD
∴

MD

AM

=

DF

AD

=

1

2

设MD=x，则AM=2x，MF=2x-6
由切割线定理，得：DM²=MF•AM
即：x²=（2x-6）×2x，解得x=4
即MD=4．

点评：本题主要考查了切线的性质，弦切角定理，切割线定理，垂径定理，弧、弦的关系以及相似三角形的判定和性质；涉及的知识点多，综合性强，难度较大．