Question

【题目】如图所示，Rt△PAB的直角顶点P（3，4）在函数y= （x＞0）的图象上，顶点A、B在函数y= （x＞0，0＜t＜k）的图象上，PA∥x轴，连接OP，OA，记△OPA的面积为S△OPA ， △PAB的面积为S△PAB ， 设w=S△OPA﹣S△PAB ． ①求k的值以及w关于t的表达式；
②若用wmax和wmin分别表示函数w的最大值和最小值，令T=wmax+a2﹣a，其中a为实数，求Tmin ．

Answer 1

【答案】解：①∵点P（3，4）， ∴在y= 中，当x=3时，y= ，即点A（3， ），
当y=4时，x= ，即点B（ ，4），
则S△PAB= PAPB= （4﹣ ）（3﹣ ），
如图，延长PA交x轴于点C，

则PC⊥x轴，
又S△OPA=S△OPC﹣S△OAC= ×3×4﹣ t=6﹣ t，
∴w=6﹣ t﹣ （4﹣ ）（3﹣ ）=﹣ t2+ t；
②∵w=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣6）2+ ，
∴wmax= ，
则T=wmax+a2﹣a=a2﹣a+ =（a﹣ ）2+ ，
∴当a= 时，Tmin= ．
【解析】（1）由点P的坐标表示出点A、点B的坐标，从而得S△PAB= PAPB= （4﹣ ）（3﹣ ），再根据反比例系数k的几何意义知S△OPA=S△OPC﹣S△OAC=6﹣ t，由w=S△OPA﹣S△PAB可得答案；（2）将（1）中所得解析式配方求得wmax= ，代入T=wmax+a2﹣a配方即可得出答案．
【考点精析】掌握比例系数k的几何意义是解答本题的根本，需要知道几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积．