Question

如图，已知矩形纸片ABCD的对角线AC长为10cm，且AB、BC的长为关于x的方程x²-2（k-2）x+k²-4k+3=0的两根，其中AB＜BC．
（1）求k的值；
（2）若将矩形纸片沿图中虚线折叠，点B恰好落在对角线AC上点F处，求折痕AE的长．

Answer 1

解：（1）∵AB、BC的长为关于x的方程x²-2（k-2）x+k²-4k+3=0的两根，AB＜BC，
∴原方程可变为；[x-（k-1）][x-（k-3）]=0，
解得：x₁=k-1，x₂=k-3，
∴BC=k-1，AC=k-3，
∴（k-1）²+（k-3）²=100，
解得：k₁=9，k₂=-5（不合题意舍去），
∴k的值为9；

（2）由（1）得：BC=k-1=8，AC=k-3=9-3=6，
∵将矩形纸片沿图中虚线折叠，点B恰好落在对角线AC上点F处，
∴AB=AF=6，BE=EF，∠AFE=90°，
∴设BE=EF=x，则FC=10-6=4，EC=8-x，
∴x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴AE===3．
分析：（1）首先用k表示出BC，AC的长，进而利用勾股定理求出k的值；
（2）利用（1）中所求得出BE=EF=x，则FC=10-6=4，EC=8-x，利用x²+4²=（8-x）²，进而求出即可．
点评：本题考查了折叠的性质和矩形的性质以及勾股定理，利用叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等得出是解题关键．