Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥DC，垂足为D，AC平分∠DAB．
（1）求证：DC是⊙O的切线．
（2）若∠BAC=30°，AC=

3

cm，求AB的长．

Answer 1

分析：（1）首先连接OC，由AC平分∠DAB，OA=OC，易证得OC∥AD，又由AD⊥DC，可得OC⊥DC，即可证得DC是⊙O的切线．
（2）由AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°，又由∠BAC=30°，AC=

3

cm，即可求得AB的长．

解答：（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥DC，
∴OC⊥DC，
∴DC是⊙O的切线．

（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=30°，AC=

3

cm，
∴AB=

AC

cos∠BAC

=

3

3 2

=2．

点评：此题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的判定与性质以及三角函数．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．