Question

已知：如图所示，C是直径为AB的半圆O上一点，D为的中点，过D作AC的垂线，垂足为E，且交AB的延长线于F．

(1)求证：EF是半圆O的切线．

(2)若⊙O的半径为，EC∶ED=1∶2，求△AEF的周长．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)证明：连接BC、OD， ∵AB是⊙O的直径．∴∠ACB=90°， ∴BC⊥AE， ∵∠E=90°，∴FE⊥AE，∴BC∥EF， ∵D是的中点，∴OD⊥BC，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线． (2)解：连接CO、BD， ∵EF切⊙O于D，∴∠CAD=∠DAB=∠EDC，∴tan∠DAB=tan∠EDC=． ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°， 在Rt△ADB中，∵tan∠DAB=，tan∠DAB=，∴=． 设BD=x，则AD=2x(x＞0)． ∵⊙O半径为，∴AB=2，由勾股定理得，即，∴x=2，x=－2(负值舍)． ∴AD=4，BD=2． ∵∠CAD=∠EDC，∴tan∠CAD=tan∠EDC=． ∴ED∶EA=1∶2，∴EA=2ED． 在Rt△AED中，由勾股定理，．即，∴ED=，∴AE=． ∵∠DAB=∠FDB，∠F公用，∴△FDB∽△FAD，∴． ∴DF=2BF． 由切割线定理得，即 ．∴BF=，DF=， ∴△AEF周长为FD＋DE＋AF＋AB＋BF=．