Question

【题目】如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．

（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；

（2）求BP：PQ：QR．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）3：1：2

【解析】试题分析：

（1）由平行四边形的性质结合相似三角形的判定定理可证得：①△BCP∽△BER；②△PCQ∽△RDQ；③△PCQ∽△PAB；④△PAB∽△RDQ；

（2）由（1）已知条件易证，结合R是DE的中点，易得，设BR= ，则BP= ，PQ= ，QR= ，由此即可求得BP:PQ:QR的比值.

试题解析：

（1）①∵四边形ACED是平行四边形，

∴∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，

∴△BCP∽△BER；

②同理可得∠CDE=∠ACD，∠PQC=∠DQR，

∴△PCQ∽△RDQ；

③∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAP=∠PCQ，

∵∠APB=∠CPQ，

∴△PCQ∽△PAB；

④∵△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，

∴△PAB∽△RDQ.

综上所述，图中共有4对相似三角形，分别是：①△BCP∽△BER；②△PCQ∽△RDQ；③△PCQ∽△PAB；④△PAB∽△RDQ；

（2）∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，

∴BC=AD=CE，

∵△BCP∽△BER，△PCQ∽△RDQ，

∴， ，

∵R是DE的中点，

∴RE=DR，

∴

∴当设BR= 时，BP= ，PQ= ，QR= ，

∴BP:PQ:QR= ： ： =3：1：2.