Question

如图所示，∠AOB是直角，∠AOC是锐角，ON是∠AOC的角平分线，OM是∠BOC的角平分线；
（1）如果∠AOC=60°时，∠MON=

45°

；
（2）如果∠AOC=50°时，∠MON=

45°

；
（3）设∠AOC=x°时，利用你学过的一元一次方程思想，求∠MON的度数．你发现了（证明）一个什么规律？

Answer 1

分析：（1）先可以求出∠BOC=90°+60°=150°，由角平分线的性质就可以得出∠MOC=75°及∠NOC=30°的值就可以求出∠MON的值；
（2）先可以求出∠BOC=90°+50°=140°，由角平分线的性质就可以得出∠MOC=70°及∠NOC=25°的值就可以求出∠MON的值；
（3）先可以求出∠BOC=90°+x°=45°+0.5x°，由角平分线的性质就可以得出∠MOC=45°及∠NOC=0.5x°的值就可以求出∠MON的值；

解答：解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOB+∠AOC=∠BOC=150°．
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=

1

2

∠BOC=75°．
∵ON是∠AOC的角平分线，
∴∠1=

1

2

∠AOC=30°．
∴∠MOC-∠1=75°-30°=45°．
即∠MON=45°；

（2））∵∠AOB=90°，∠AOC=50°，
∴∠AOB+∠AOC=∠BOC=140°．
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=

1

2

∠BOC=70°．
∵ON是∠AOC的角平分线，
∴∠1=

1

2

∠AOC=25°．
∴∠MOC-∠1=70°-25°=45°．
即∠MON=45°；

（3））∵∠AOB=90°，∠AOC=x°，
∴∠AOB+∠AOC=∠BOC=90°+x°．
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=

1

2

∠BOC=45°+0.5x°．
∵ON是∠AOC的角平分线，
∴∠1=

1

2

∠AOC=0.5x°．
∴∠MOC-∠1=45°+0.5x°-0.5x°=45°．
即∠MON=45°；
故答案为：45°，45°，∠MON的度数不变．

点评：本题考查了一元一次方程的运用，角平分线的性质的运用，角的计算的运用，解答时合理运用角平分线的性质是关键．