题目内容
3、对任意的自然数n，证明A=2903n-803n-464n+261n能被1897整除．
分析：由1897=7×271，7与271互质，得出2903≡5（mod7），803≡5（mod7），464≡2（mod7），261≡2（mod7），从而求出
A=2903n-803n-464n+261n=0（mod7），进而得出A=2903 n-803 n-464 n+261 n=0（mod271），命题的证．
A=2903n-803n-464n+261n=0（mod7），进而得出A=2903 n-803 n-464 n+261 n=0（mod271），命题的证．
解答：证明：1897=7×271，7与271互质．
因为2903≡5（mod7），
803≡5（mod7），
464≡2（mod7），
261≡2（mod7），
所以
A=2903n-803n-464n+261n
≡5n-5n-2n+2n=0（mod7），
故7|A．又因为
2903≡193（mod271），
803≡261（mod271），
464≡193（mod271），
所以
A=2903 n-803 n-464 n+261 n，
≡193 n-261 n-193 n+261 n，
=0（mod271），
故271|A．因（7，271）=1，
所以1897整除A．
即A=2903n-803n-464n+261n能被1897整除．
因为2903≡5（mod7），
803≡5（mod7），
464≡2（mod7），
261≡2（mod7），
所以
A=2903n-803n-464n+261n
≡5n-5n-2n+2n=0（mod7），
故7|A．又因为
2903≡193（mod271），
803≡261（mod271），
464≡193（mod271），
所以
A=2903 n-803 n-464 n+261 n，
≡193 n-261 n-193 n+261 n，
=0（mod271），
故271|A．因（7，271）=1，
所以1897整除A．
即A=2903n-803n-464n+261n能被1897整除．
点评：此题主要考查了同余问题的性质，分别得出7与271整除A=2903n-803n-464n+261n，是解决问题的关键．
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