Question

【题目】如图，正方形中，是对角线上一个动点，连结，过作，，

，分别为垂足．

（1）求证：；

（2）①写出、、三条线段满足的等量关系，并证明；②求当，时，的长

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①GE2＋GF2＝AG2，证明见解析；②的长为或．

【解析】

（1）根据正方形的性质得出△DGE和△BGF是等腰直角三角形，可得GE＝DG，GF＝BG，结合AB＝BD即可得出结论；

（2）①连接CG，由SAS证明△ABG≌△CBG，得出AG＝CG，证出四边形EGFC是矩形，得出CE＝GF，由勾股定理即可得出GE2＋GF2＝AG2；

②设GE＝CF＝x，则GF＝BF＝6x，由①中结论得出方程求出CF＝1或CF＝5，再分情况讨论，由勾股定理求出BG即可．

解：（1）∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BCD＝90°，∠ABD＝∠CDB＝∠CBD＝45°，AB＝BC＝CD，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴AB＝BD，

∵GE⊥CD，GF⊥BC，

∴△DGE和△BGF是等腰直角三角形，

∴GE＝DG，GF＝BG，

∴GE＋GF＝（DG＋BG）＝BD，

∴GE＋GF＝AB；

（2）①GE2＋GF2＝AG2，

证明：连接CG，如图所示：

在△ABG和△CBG中，，

∴△ABG≌△CBG（SAS），

∴AG＝CG，

∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD＝90°，

∴四边形EGFC是矩形，

∴CE＝GF，

∵GE2＋CE2＝CG2，

∴GE2＋GF2＝AG2；

②设GE＝CF＝x，则GF＝BF＝6x，

∵GE2＋GF2＝AG2，

∴，

解得：x＝1或x＝5，

当x＝1时，则BF＝GF＝5，

∴BG＝，

当x＝5时，则BF＝GF＝1，

∴BG＝，

综上，的长为或．