Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，且OB＝OA，直线l2：y＝k2x+b经过点C（，1），与x轴、y轴、直线AB分别交于点E、F、D三点．

（1）求直线l1的解析式；

（2）如图1，连接CB，当CD⊥AB时，求点D的坐标和△BCD的面积；

（3）如图2，当点D在直线AB上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+6；（2）D（﹣，3），S△BCD＝4；（3）存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，点Q的坐标是（0，±2）或（6﹣4，0）或（﹣4﹣6，0）

【解析】

（1）根据待定系数法可得直线l1的解析式；

（2）如图1，过C作CH⊥x轴于H，求点E的坐标，利用C和E两点的坐标求直线l2的解析式，与直线l1列方程组可得点D的坐标，利用面积和可得△BCD的面积；

（3）分四种情况：在x轴和y轴上，证明△DMQ≌△QNC（AAS），得DM＝QN，QM＝CN，设D（m，m+6）（m＜0），表示点Q的坐标，根据OQ的长列方程可得m的值，从而得到结论．

解：（1）y＝k1x+6，

当x＝0时，y＝6，

∴OB＝6，

∵OB＝OA，

∴OA＝2，

∴A（﹣2，0），

把A（﹣2，0）代入：y＝k1x+6中得：﹣2k1+6＝0，

k1＝，

∴直线l1的解析式为：y＝x+6；

（2）如图1，过C作CH⊥x轴于H，

∵C（，1），

∴OH＝，CH＝1，

Rt△ABO中，，

∴AB＝2OA，

∴∠OBA＝30°，∠OAB＝60°，

∵CD⊥AB，

∴∠ADE＝90°，

∴∠AED＝30°，

∴EH＝，

∴OE＝OH+EH＝2，

∴E（2，0），

把E（2，0）和C（，1）代入y＝k2x+b中得：，

解得：，

∴直线l2：y＝x+2，

∴F（0，2）即BF＝6﹣2＝4，

则，解得，

∴D（﹣，3），

∴S△BCD＝BF（xC﹣xD）＝；

（3）分四种情况：

①当Q在y轴的正半轴上时，如图2，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，

∵△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，

∴∠CQD＝90°，CQ＝DQ，

∴∠DMQ＝∠CNQ＝90°，

∴∠MDQ＝∠CQN，

∴△DMQ≌△QNC（AAS），

∴DM＝QN，QM＝CN＝，

设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，﹣m+1），

∴OQ＝QN+ON＝OM+QM，

即﹣m+1＝m+6+，

，

∴Q（0，2）；

②当Q在x轴的负半轴上时，如图3，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，

同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），

∴DM＝QN，QM＝CN＝1，

设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m+1，0），

∴OQ＝QN﹣ON＝OM﹣QM，

即m+6-＝﹣m﹣1，

m＝5﹣4，

∴Q（6﹣4，0）；

③当Q在x轴的负半轴上时，如图4，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，

同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），

∴DM＝QN，QM＝CN＝1，

设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m﹣1，0），

∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，

即﹣m﹣6﹣＝﹣m+1，

m＝﹣4﹣5，

∴Q（﹣4﹣6，0）；

④当Q在y轴的负半轴上时，如图5，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，

同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），

∴DM＝QN，QM＝CN＝，

设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，m+1），

∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，

即﹣m﹣6+＝﹣m﹣1，

m＝﹣2﹣1，

∴Q（0，﹣2）；

综上，存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，点Q的坐标是（0，±2）或（6﹣4，0）或（﹣4﹣6，0）．