题目内容
13．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：若点P′为射线CP上一点，满足CP•CP′=r2，则称点P′为点P关于⊙C的反演点．右图为点P及其关于⊙C的反演点P′的示意图．
（1）如图1，当⊙O的半径为1时，分别求出点M（1，0），N（0，2），T（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）关于⊙O的反演点M′，N′，T′的坐标；
（2）如图2，已知点A（1，4），B（3，0），以AB为直径的⊙G与y轴交于点C，D（点C位于点D下方），E为CD的中点．
①若点O，E关于⊙G的反演点分别为O′，E′，求∠E′O′G的大小；
②若点P在⊙G上，且∠BAP=∠OBC，设直线AP与x轴的交点为Q，点Q关于⊙G的反演点为Q′，请直接写出线段GQ′的长度．
分析 （1）利用反演点定义，先求出：ON′，OT′，OM′的长度，然后求出它们的坐标；
（2）①求出：E′G，O′G，O′E′，利用勾股定理逆定理证明△E′O′G是RT△；
②考虑两种情形，点P在直线AB左右都存在．
解答 解：（1）∵ON•ON′=1，ON=2，
∴ON′=$\frac{1}{2}$，∴反演点N′坐标（0，$\frac{1}{2}$），
∵OM•OM′=1，OM=1，
∴OM′=1
反演点M′坐标（1，0）
∵$OT•OT′=1，OT=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$OT′=\sqrt{2}$，
∵T′在第一象限的角平分线上，
∴反演点T′坐标（1，1）
（2）①由题意：AB=2$\sqrt{5}$，r=$\sqrt{5}$，
∵E（0，2），G（2，2），EG=2，E′G•EG=5，
∴$E′G=\frac{5}{2}$，
∵OG•O′G=5，OG=2$\sqrt{5}$，
∴O′G=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵E′（-$\frac{1}{2}$，2），O′（$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3\sqrt{5}}{2}$），
∴O′E′=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴E′G2=E′O′2+O′G2，
∴∠E′O′G=90°
②如图：∵∠BAP1=∠OBC，∠CAP1+∠CBP1=∠CAB+∠BAP1+∠CBP1=180°，∠OBC+∠CBP1+∠P1BQ1=180°，∠CAB=45°，
∴∠P1BQ1=45°，
∵∠AP1B=∠BP1Q1=90°，
∴△PBQ1是等腰直角三角形，
由△AP1B∽△BOC得到：$\frac{AP1}{BP1}=\frac{BO}{CO}=3$，
∵$AB=2\sqrt{5}$，
∴$BP1=\sqrt{2}$，BQ1=2，Q1（5，0），
∵Q1′G•GQ1=5，
∴Q1′G=$\frac{5\sqrt{13}}{13}$，
∵∠P2AB=∠BAP1，
∴P1，P2关于直线AB对称，∵P1（4，1），易知：P2（$\frac{8}{5}$，-$\frac{1}{5}$），
∴直线AP2：Y=-7X+11，∴Q2（$\frac{11}{7}，0$），
由：Q2′G•Q2G=5得到：Q2′G=$\frac{7\sqrt{205}}{41}$．
点评 本题目考查的知识点比较多，用到圆的性质，一次函数的性质，勾股定理逆定理等，题目综合性比较强，利用到特殊三角形比如：△BP1Q1是等腰直角三角形，利用对称求点的坐标等知识点．
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如图，在矩形ABCD中，O是对角线的交点，OE⊥BC于E，0E=2，∠ACB=30°．求矩形ABCD的面积．
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