Question

已知如图，△ABC为直角三角形纸片，∠C=90°，AC≤BC，将纸片沿EF折叠，使A点
落在BC上D点，若△DCE和△FBD都是等腰三角形，
（1）则∠B=______；
（2）若△DFE和△FBD都是等腰三角形，求∠B．

Answer 1

解：（1）①若BD=BF，
由△DEC是等腰三角形可得出∠CED=∠CDE=45°，
设∠B=x，可得∠BDF=∠BFD=（180°-x），
∴∠EDF=45°+x=∠A，
又∵∠A+∠B=90°，
∴45°+x+x=90°，
解得：x=30°．即此时∠B=30°．
②若DF=BD，
则∴∠EDF=2x-45°=∠A，
∴2x-45°+x=90°，
解得：x=45°．

（2）设∠B=x，
①AE=AF，DF=DB，
则∠DFB=∠B=x，∠A=90°-x，
∴∠AEF=∠AFE=∠EFD=，
则x+2×=180°，解得x=45°；
②AE=AF，BD=BF，则∠AEF=∠AFE=∠EFD=，∠DFB=，
则+2×=180°，解得x=0，不符合题意；
③EA=EF，DF=DB，则∠A=∠EFA=90°-x，∠DFB=∠B=x，
则2（90°-x）+x=180°，解得x=0，不符合题意；
④EA=EF，BD=BF，则∠A=∠EFA=90°-x，∠DFB=，
则2（90°-x）+=180°，解得x=36°．
⑤FE=FA，DF=DB，则∠EFA=2x，∠DFB=∠B=x，
则5x=180°，解得x=36°；
⑥FE=FA，BD=BF，则∠EFA=2x，∠DFB=，
则4x+=180°，解得x=°．
综上可得∠B=45°或36°或°．
分析：首先确定△BDF不是以DF=BF为腰的等腰三角形，由折叠的性质可得DF=AF，如果DF=FB，那么则可得DF=AF=FB，这是不可能的，如果AF=FB，那么应该满足CF=AF=FB，而CF≠DF，故这种情况不可能．
（1）由△DEC是等腰三角形可得出∠CED=∠CDE=45°，设∠B=x，①若BD=BF，可得∠BDF=∠BFD=（180°-x），继而可得出∠EDF=∠A的度数，根据∠A+∠B=90°可解出x．②若DF=BD，可得∠EDF=∠A=2x-45°，根据∠A+∠B=90°可解出x．
（2）分情况进行讨论，①AE=AF，DF=DB，②AE=AF，BD=BF，③EA=EF，DF=DB，④EA=EF，BD=BF，⑤FE=FA，DF=DB，⑥FE=FA，BD=BF，这几种情况下，分别表示出∠B及∠EFA，的度数，利用平角AFB等于180°列方程可得出答案．
点评：本题考查了翻折变换及等腰三角形的性质，难度较大，难点在于不确定等腰三角形的腰，需要分情况进行讨论，尤其是第二问需要分六种情况，注意讨论的时候按次序进行，避免漏解．