Question

【题目】已知AB∥CD,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F.

(1)如图1,若∠E=80°,求∠BFD的度数.

(2)如图2,若∠ABM=∠ABF,∠CDM=∠CDF,试写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论.

(3)若∠ABM=∠ABF,∠CDM=∠CDF,∠E=m°,请直接用含有n,m°的代数式表示出∠M.

Answer 1

【答案】（1）∠BFD=140°；（2）6∠M+∠E=360°；（3）.

【解析】（1）首先作EG∥AB，FH∥AB，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=280°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=140°，从而得到∠BFD的度数；

（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠E，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代换，即可；

（3）由（2）的方法可得到2n∠M+∠E=360°，将∠E=m°代入可得∠M=．

解：(1)作EG∥AB,FH∥AB,因为AB∥CD,

所以EG∥AB∥FH∥CD.

所以∠ABF=∠BFH,∠CDF=∠DFH,∠ABE+∠BEG=180°,∠GED+∠CDE=180°,所以∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°.

因为∠BED=∠BEG+∠DEG=80°,

所以∠ABE+∠CDE=280°.

因为∠ABE和∠CDE的角平分线相交于点F,

所以∠ABF+∠CDF=140°,

所以∠BFD=∠BFH+∠DFH=140°.

(2)因为∠ABM=∠ABF,∠CDM=∠CDF,所以∠ABF=3∠ABM,∠CDF=3∠CDM,因为∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F,

所以∠ABE=6∠ABM,∠CDE=6∠CDM,

所以6∠ABM+6∠CDM+∠E=360°.

因为∠M=∠ABM+∠CDM,

所以6∠M+∠E=360°.

(3)由(2)结论可得,

2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360°,∠M=∠ABM+∠CDM,

解得∠M=.