Question

（2012•邯郸一模）如图，矩形ABCD中，AC，BD是对角线，AB=3，BC=4，点E在CB的延长线上，且CE=AC，连接AE．
（1）求AE的长；
（2）用尺规作出AE的中点F，连接BF，DF；（保留作图痕迹）
（3）求证：BF⊥DF；
（4）△ABE与△DFB是否相似？若相似，直接写出△ABE与△DFB的面积比；若不相似，直接写出△ABE与△DFB的面积．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理求出AC=5，求出BE=5-4=1，在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE即可；
（2）分别以A、E为圆心，以大于

1

2

AE为半径画弧，交于一点，过该点和C作直线，交于AE的点就是F点；
（3）证△DAF≌△CBF，推出∠DFA=∠CFB，求出CF⊥AE，推出∠DFB=90°，根据垂直定义得出即可；
（4）求出BD=AC=5，BF=AF=EF=

1

2

AE=

10

2

，DF=

3 10

2

，得出

AE

BD

=

AB

DF

=

BE

BF

=

10

5

，即可得出答案．

解答：（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE=∠ABC=90°，
∵AB=3，BC=4，
∴由勾股定理得：AC=5，
∵AC=CE，BC=4，
∴BE=5-4=1，
在Rt△ABE中，AE=

12+32

=

10

；

（2）解：如图所示：

（3）证明：∵∠ABE=90°，F为AE中点，
∴BF=AF=EF，
∴∠FAB=∠FBA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠DAB=∠CBA=90°，
∴∠DAF=∠CBF，
∵在△DAF和△CBF中

AF=BF ∠DAF=∠CBF AD=BC

∴△DAF≌△CBF（SAS），
∴∠DFA=∠CFB，
∵F为AE中点，AC=CE，
∴CF⊥AE，
∴∠CFA=90°=∠CFD+∠DFA，
∴∠CFD+∠CFB=90°，
∴∠DFB=90°，
∴BF⊥DF；

（4）解：△ABE与△DFB相似，
理由是：∵BD=AC=

32+42

=5，BF=AF=EF=

1

2

AE=

10

2

，
∴DF=

BD2-BF2

=

3 10

2

，
∵AB=3，BE=1，AE=

10

，
∴

AE

BD

=

AB

DF

=

BE

BF

=

10

5

，
即：△ABE与△DFB相似，△ABE与△DFB的面积比是（

10

5

）²=

2

5

．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，矩形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．