Question

如图所示，△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，点D是AB上的一个动点，∠B=∠EDC，

DE

AB

=

DC

BC

，设CD=x，△EDC的周长为y，求y与x的函数关系式，并求自变量的取值范围．

Answer 1

分析：首先根据边角边定理证得△ABC∽△EDC．根据相似三角形的性质及CD=x，分别用x表示边CE、DE的长．进而求得周长y关于x的函数关系式．根据勾股定理知△ABC为直角三角形，x的最小值即为斜边AB上的高，最大值为AC的长．

解答：∵∠B=∠EDC，

DE

AB

=

DC

BC

∴△ABC∽△EDC（2分）
∵AB=5，AC=4，BC=3，CD=x，
∴DE=

5

3

x，CE=

4

3

x，
∴y=x+

4

3

x+

5

3

x=4x．（4分）
∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴∠C=90°，
∴

12

5

≤CD≤4，即

12

5

≤x≤4．（6分）

点评：本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积计算．解决本题特别需注意根据相似比，用x表示出边CE、DE的长；勾股定理的几组特殊值3、4、5，12、5、13等常用的数据；