题目内容

对于x＞0，规定f（x）= $数学公式$ ，例如f（2）= $数学公式$ ，f（ $数学公式$ ）= $数学公式$ ，那么f（ $数学公式$ ）+f（ $数学公式$ ）+…+f（ $数学公式$ ）+f（ $数学公式$ ）+f（1）+f（2）+…+f（2011）=______．

解：原式= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =1×2010+ $\text{[math]}$ =2010.5．
故答案是2010.5．
分析：根据f（2）= $\text{[math]}$ 可知f（x）= $\text{[math]}$ ，根据f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ 可知f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，以此类推可分别求f（ $\text{[math]}$ ）、f（ $\text{[math]}$ ）、…、f（ $\text{[math]}$ ）、f（ $\text{[math]}$ ）、f（1）、f（2）、…f（2011）的值，再把结果相加，又发现除 $\text{[math]}$ 外，其它的数能两两组成1，据此可知有 $\text{[math]}$ 个1，进而可求出答案．
点评：本题考查了分式的混合运算，解题的关键是寻找规律，比如：根据f（x）= $\text{[math]}$ 来计算正整数时的值；根据知f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ 来计算分数时的值，再根据结果可发现以 $\text{[math]}$ 为对称中心的两个数相加等于1．