Question

【题目】如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别是BE，CD的中点，

（1）求证：△AMN是等边三角形．

（2）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）CD=BE.理由见解析

【解析】试题分析：（1）由等边三角形的性质得到AB=AC，AE=AD， ∠BAC=∠EAD=60°，从而得到BE=CD， 再由中点的定义得到EN=DN， 即有AN=AM， 从而可以得到结论；

（2）可以利用SAS判定△ABE≌△ACD，全等三角形的对应边相等，所以CD=BE．

试题解析：解：（1）∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AE=AD， ∠BAC=∠EAD=60°，

∴AB-AE=AC-AD，即BE=CD， ∴M，N分别是BE，CD的中点，∴EM=BE，DN=CD， ∴EN=DN， ∴EM+AE=DN+AD，即AN=AM， ∵∠BAC=60°， ∴△AMN是等边三角形；

（2）CD=BE．理由如下：

∵△ABC和△ADE为等边三角形，∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°．

∵∠BAE=∠BAC∠EAC=60°∠EAC，∠DAC=∠DAE∠EAC=60°∠EAC，∠BAE=∠DAC，∴△ABE≌△ACD，∴CD=BE．