Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E．
（1）求证DE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC=120°，AB=2，求△DEC的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OD，由于OB=OD，易得∠B=∠ODB，而由AB=AC可证∠B=∠C，于是∠ODB=∠C，那么OD∥AC，而DE⊥AC，易证∠ODE=∠DEC=90°，从而可证DE是⊙O切线；
（2）连接AD，由于AB是直径，那么∠ADB=90°，而AB=AC，且∠BAC=120°，易求∠B=∠C=30°，∠DAC=60°，利用直角三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半可得AD=

1

2

AB=1，在Rt△ADE中，利用特殊三角函数值可求AE、DE，从而易求CE，再利用三角形面积公式可求S_△DEC．

解答：（1）证明：连接OD．
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=∠DEC=90°，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°．
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴AD=

1

2

AB=1，
∵在Rt△AED中，DE⊥AC，∠DAE=60°，
∴AE=

1

2

AD=

1

2

，DE=sin60°×AD=

3

2

，
∴EC=2-

1

2

=

3

2

，
∴S△DEC=

1

2

×

3

2

×

3

2

=

3 3

8

．

点评：本题考查了平行线的判定和性质、等腰三角形三线合一定理、切线的判定和性质、直角三角形中30角所对的边等于斜边的一半．解题的关键是连接OD、AD，证明OD∥AC．