Question

【题目】探索与证明：

（1）如图①，直线经过正三角形的顶点，在直线上取点，，使得，．通过观察或测量，猜想线段，与之间满足的数量关系，并予以证明；

（2）将（1）中的直线绕着点逆时针方向旋转一个角度到如图②的位置，，．通过观察或测量，猜想线段，与之间满足的数量关系，并予以证明．

Answer 1

【答案】（1）DE=BD＋CE，证明见解析；（2）CE =BD＋DE，证明见解析

【解析】

（1）根据等边三角形的性质可得AB=CA，∠BAC=60°，然后根据已知条件可得，并且可证出∠ABD=∠CAE，利用AAS即可证出△ABD≌△CAE，从而得出BD=AE，AD= CE，然后根据DE=AE＋AD和等量代换即可得出结论；

（2）根据等边三角形的性质可得AB=CA，∠BAC=60°，然后根据已知条件可得，并且可证出∠ABD=∠CAE，利用AAS即可证出△ABD≌△CAE，从而得出BD=AE，AD= CE，然后根据AD= AE＋DE和等量代换即可得出结论；

解：（1）DE=BD＋CE，证明如下

∵△ABC为等边三角形

∴AB=CA，∠BAC=60°

∵，

∴

∴∠ABD＋∠BAD=180°－∠ADB=120°

∠CAE＋∠BAD=180°－∠BAC=120°

∴∠ABD=∠CAE

在△ABD和△CAE中

∴△ABD≌△CAE

∴BD=AE，AD= CE

∴DE=AE＋AD= BD＋CE；

（2）CE =BD＋DE，证明如下

∵△ABC为等边三角形

∴AB=CA，∠BAC=60°

∵，

∴

∴∠ABD＋∠BAD=180°－∠ADB=60°

∠CAE＋∠BAD=∠BAC=60°

∴∠ABD=∠CAE

在△ABD和△CAE中

∴△ABD≌△CAE

∴BD=AE，AD= CE

∵AD= AE＋DE

∴CE= BD＋DE．