题目内容

精英家教网如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，有下列结论：
①∠BAE=30°；
②CE2=AB×CF；
③CF=
13
CD；
④△ABE∽△AEF．其中正确结论的序号是
 
．
分析：由题中条件可得△CEF∽△BAE，进而得出对应线段成比例，进而又可得出△ABE∽△AEF，即可得出题中结论．
解答：解：∵AE⊥EF，∴∠BAE=∠CEF，
∴△CEF∽△BAE，∴
CE
AB
=
CF
BE
，即CE•BE=AB•CF，即CE2=AB•CF，∴②正确；
由△CEF∽△BAE可得
CE
CF
=
AB
BE
，∴∠EAF=∠BAE的正切值相同，
∴∠EAF=∠BAE 又∠B=∠C=90°．∴△ABE∽△AEF，∴④正确；
由于题中并没有涉及数值计算，所以①③均不成立．
故答案为②④．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质，其中又涉及正方形的一些性质问题，能够熟练掌握．
练习册系列答案
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精英家教网如图：在正方形网格上有△ABC，△DEF，说明这两个三角形相似，并求出它们的相似比．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线精英家教网，交BC于点E．
（1）求证：点E是边BC的中点；
（2）若EC=3，BD=2
6
，求⊙O的直径AC的长度；
（3）若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．
23、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF、CG．
（1）求证：AF=BF；
（2）如果AB=AC，求证：四边形AFCG是正方形．
（2012•陕西）如图，正三角形ABC的边长为3+
3
．
（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；
（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6
2
，求另一直角边BC的长．

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